2020年の大学入試センター試験が終了しました。受験生の皆さん、お疲れ様でした。<(_ _)>
楽習堂では高校生は数学中心に教えていて、僕も「数学Ｉ・数学Ａ」と「数学Ⅱ・数学Ｂ」の問題は解いてみました。詳細な解説を書いている時間はないんですが、簡略な解説ならできますので、参考にしてみて下さい。
両方を一度にやると膨大になるので、今回はまず「数学Ｉ・数学Ａ」の方を解説します。問題と解答は様々なメディアで公開されていますが、ここでは地元の中日新聞のセンター速報サイトを紹介しておきます。
https://edu.chunichi.co.jp/pages/center2020/
問題をみながら、以下の解説を読んで下さい。
【記号に関する注意】
ブログでは、本来の数学の表現法を十分に記入できません。なので、本来的なものとは異なる表現を用います。
※x^y…「xのy乗」という意味。
【第１問】（２次不等式、集合、２次関数）
総じて、簡単な問題が多いという印象を受けました。
〔２〕の集合の、自然数１２がどういう命題の反例になるかという問題は珍しい出題かもしれませんが、出題の意味さえわかれば、そんなに煩雑な思考をする必要はありません。
〔３〕の２次関数も全般的に平易なんですが、線分と共有点を持つようなｃの値の範囲を求める問題は、下手なことを考えると時間を取られるかも…与えられた２次関数をf(x)とおいて、
－3≦f(3)≦0
という不等式を立てると、cに関する2次不等式が2つ得られるので、それらの共通範囲を出すという問題なんですけどね。
しかしここで「判別式ガー」とか「軸の方程式ガー」なんて考えちゃったら、ムダな時間取られますよ…(*_*;
それは、線分がヨコに引いてある場合に考えること。ここは線分がタテに引いてあるという条件なので、じぇんじぇん的外れになってしまいます…(^^;
【第２問】（三角比、資料）
〔１〕の三角比の問題。
BDの長さは△BCDに余弦定理を適用するだけです。
sin∠ADCの値は、
①余弦定理を用いて、cos∠BDCを求める。
②sin^2+cos^2=1を利用して、sin∠BDCを求める。
③sin∠BDC=sin(180°-∠BDC)＝sin∠ADC。
の手順で導くことができます。
AC/ADの値は、角の二等分線の特徴よりAC:AD=BC:BDであることから、AC/AD=BC/BDになるので、BCとBDの値を代入すればいいですね。
ADの長さは、これを利用します。AD=xとおくと、先の問題からAC=√2x。CD=√2は問題で与えられています。更に、∠BCD=∠ACDなので、cos∠ACD=3/4も与えられているに等しいわけです。これらの値を△ACDにおける余弦定理に代入すると、xの２次方程式が得られます。x>0に注意してこの方程式を解くことで、答えは導けます。
△ABCの外接円の半径は、
①先の問題の結果として、AC=√2が得られる。
②CD=√2でもあるので、△ACDはAC=CDの二等辺三角形になる。
③∠ADC=∠DACになるので、sin∠DAC=sin∠ADC=√14/4とわかる（前の問題で求めている）。
④正弦定理より、R=BC/2sin∠DAC。
という手順を踏んで求められます。
もっとも、数学ⅡＢで習う倍角の公式を知っていたら、
sin∠ACD=2sin∠BDCcos∠BDC
を計算して、正弦定理に持ち込む方法もありますけどね。僕が真っ先に思いついたのは、こっちの方法でした…(^^;
〔２〕の資料の問題。
（１）は、特に②や④を間違って選んでしまう人が多いかもしれませんねー。てか、僕もひっかかりましたー…(^^;
②「99個のデータがあって、中央値より小さいデータは49個ある」
一見正しそうな気がしますもんねー。でも、中央値を取るデータが１つなら正しいんですが、複数あると正しくなくなっちゃうんですねー…(*_*;
④「99個のデータがあって、第一四分位数より小さいデータと第三四分位数より大きいデータを取り除くと、残りは51個」
②と同じような理由で、アウトなんです…
（２）と（３）は基本的な問題ですが、（４）で戸惑った人が多かったかもしれません。なんのために、散布図の中に傾き１の直線が書いてあるか理解できると、簡単なんですけどね。
男女の平均寿命の差を表すヒストグラムを求めるわけですが、散布図の縦軸（ｙ軸とみなす）が女、横軸（ｘ軸とみなす）が男の平均寿命を表しているので、y-x=kとした場合のkの値がポイントなんですが、これはy=x+kとも表せます。これって、傾き１の直線ですよね。つまり、散布図上の直線は、y=x+kの直線をkの値を変えて書いてあるということです。y=x+k上にある点は「平均寿命の差がkであるものの集合」を表してるんですよ。
具体的なkの値はというと、実は問題に「切片が5.5から7.5まで0.5刻みで…」とわざわざ書いてくれてます。これを読み落としても、kが男女差だということに気づければ、与えられた散布図の原点に相当する場所の女85.5歳から男のx切片の年齢をそれぞれ引けば、すぐに出せます。
そう考えると、１番右下の直線と２番目の直線の間に含まれているデータは、x+5.5≦y≦x+6.0の範囲に含まれていますが、これは「平均寿命の差が5.5から6.0までの範囲にあるデータ」を意味してるんですね。散布図を見ると、この個数は9個であることがわかります。ヒストグラムで5.5から6.0までの範囲に9個あるのは③しかありませんね。これだけで正解確定です。
もっとも、7.0から7.5の範囲に含まれているデータは散布図より3個しかなく、ヒストグラムで7.0から7.5までの範囲に3個あるのも③しかないので、こっちに気づく方が数えるのは早いです。(^^♪
【第３問】（場合の数と確率）
〔１〕の正しい記述を選ぶ問題。⓪と②を素直に計算すると正しいので、それらを素直に選べば正解するんですが、①と③が正しくない理由はどこにあるんでしょう？
①の不適切性は明らかですね。確率の分母には全ての可能性の数でなければならないのですが、球が全部で８個あるのに、試行を５回繰り返しただけでは、全ての可能性を網羅できていませんよね。だから、分母を５にするのは不適切です。
③はかなり考えさせられます。２体のロボットが発言するのですが、まず１体目のロボットが「オモテ」と発言した段階で、0.9の確率で実際に表が出ています。0.1で正しくない可能性がある場合、2体目のロボットに真偽を委ねると0.9の割合で実際に表が出ています。なので、実際に表が出ている確率pは、
p=0.9+0.1×0.9=0.99
従って、p≦0.9は不適切である…と考えてるんだろうと思います。たぶん。
ただここには、１体が正しい発言をして、もう１体正しくない発言をしている場合、正しく発言している可能性を優先するという考え方が、暗黙の前提として入っているように思います。しかしこの前提は絶対に正しいと言えるんでしょうか？正しくない偽の発言をしている可能性を優先すれば、p=0.9×0.9=0.81になるので、p≦0.9は妥当になるはずです。
この問題に限りませんが、確率は解釈次第で色々な数値が正当化できたりします。論争になったりすることもありますね。これも、解釈次第でどうにでもなる問題であるような気がします。僕としては、こうした確率の解釈問題に触れるような問題を、入試で出して欲しくはないんですけどね…(~_~;)
〔２〕のコイン投げの問題。
（１）と（２）は、素直に解けばよいだけの問題ですが、（３）はひっかかりやすいかもしれません。
①表がx回出るとすると、裏は5-x回出るので、この場合の点数は2x-(5-x)=3x-5と表される。
②終了時点で4点になる場合、3x-5=4、つまりx=3になる。
③全ての場合の数は2^5=32通り、表が3回、裏が2回出る場合の数は5!/(3!2!)=10通りなので、答えは10/32=5/16だっ！
…ってところで終わってしまうと、間違えてしまいます…(*_*;
途中で持ち点が0点になって、5回コインを投げる前に終了してしまう可能性を考慮してないからですね。（２）で３回投げると持ち点が０になる場合について考えさせているのが、（３）のヒントにもなってるわけです。３回投げて表１回、裏２回出て持ち点が０になる可能性が３通りあり、それぞれの場合でコイン投げを続けたと仮定して、更に表が２回出れば、表３回裏２回になります。しかし、これは持ち点４にならないので、③で求めた場合の数からこの可能性を引かないといけません。
持ち点４になるのは10-3=7通り。よって、答えは7/32なんですね。
（４）の条件付き確率は、通常教えられる定義通りに確率の割り算で出すこともできますが、場合の数で出してもいいでしょう。２回投げ終わって持ち点１になるのが表１回、裏１回で２通り。次に裏が出ると持ち点０で終わってしまうので、必ず表が出る必要があり、３回投げ終わって２通り。残りの２回で表１回裏１回出る必要があるので、それぞれに2通りあり得ます。結局、２回投げ終わって持ち点１で最後に持ち点４になっている場合の数は、2×2＝4通りあるわけです。
持ち点４になる場合は、（３）で全７通りと求められているので、4/7という答えが導けます。
【第４問】（整数の性質）
（１）のｘの値や（２）の冒頭のｙの式を求める問題は、循環小数とｎ進法の基本が理解できていれば容易な問題だと思います。それ以降で出来の差が大きく生じてくるのではないでしょうか。
（２）の（ⅰ）で、分子が奇数、分母が４である分数を求める問題ですが、y=(96+7a+b)/48が出せていれば、これを約分して分母が4になってくれるためには、分子の96+7a+b=12kと表される必要があります。約分してy=k/4が答えるべき数値です。ただし、分子が奇数という条件から、kが奇数である必要がある点に注意して下さい。
この式を変形すると、
7a+b=12(k-8)
となります。kが奇数でaやbが非負という条件を考慮すると、k-8は正の奇数である必要があります。後は、場合分けして考えていきましょう。
k-8=1つまりk=9になるとき、y=9/4です。解答を求められてはいませんが、この場合7a+b=12となるので、(a,b)=(1,5)によって構成できて、aやbの条件を満たします。
k-8=3つまりk=11になるとき、y=11/4です。こっちの方は、更なる解答を求められています。この場合7a+b=12×3=36となるので、(a,b)=(5,1)によって構成できて、やはりaやbの条件を満たします。
k-8≧5つまりk≧13の場合は、一件良さそうに見えますが、実のところは不適となります。この場合7a+b≧12×5=60となるのですが、60以上にするためにはa≧8にする必要があるため、0≦a≦6という前提では構成できなくなってしまうからです。
（２）の（ⅱ）は、先に求めたyの式から、y-2=(7a+b)/48をまず導きましょう。分子が１で分母が２以上になるためには、7a+bが48の約数になってくれればいいわけです。ただし、48に等しくなってしまうと、分母も１になるので除外します。そうすると、
7a+b=1,2,3,4,6,8,12,16,24
が考えられるので、全部で9個！(>_<)
…って答えると、間違いになっちゃうんですねー…(*_*;
なぜかというと「aとbは
異なる整数である」という条件が問題に書かれているからですよ…わざわざ太字で書いてくれているので、見逃さないで欲しいです。7a+b=8,16,24を構成するためにはaとbが同じになる必要があるので、これらは除外される必要があります。なので答えは、9-3=6個です。
【第５問】（図形の性質）
最初の辺の比を求める問題は、チェバの定理やメネラオスの定理を素直に使うだけの問題です。面積比の問題は、面積比＝底辺比の原理を駆使して△CDGと△BFGがそれぞれ△ABCに対してどれだけの比になっているかを計算すればOK。
次のABの長さを求める問題ですが、「B，D，F，Gが同一平面上にある」という新たに付加された条件を見た段階で「ピカーン！方べきの定理だっ！(>_<)」と思いつけたら、勝ち組ですねー。思いつけなかったら、負け組です…( ;∀;)
AB=xとすると、先に求めた辺の比から、AG=x/2。更に、与えられたFD=1という条件と先に求めた辺の比から、AF=8、AD=9であることがわかります。ここで方べきの定理により、AB・AG＝AD・AFが成り立つので、それぞれ代入してみると、x・x/2＝8・9という２次方程式が得られます。xが正であることに注意してこの2次方程式を解くと、x=12であることがわかります。
次のAE・ACを求める問題は、AE=3√7が与えられており、更に問題で与えられている内分比の条件からAC=(8/7)AE=(24/7)√7とわかるので、それらの掛け算をするだけですね。
最後の∠AEGと等しい角を選ぶ問題はムズかしい！…というより、気づきにくいと思います。気づいちゃうと、あっけないんですが。
先の問題でAB=12、AG=6が求められていることを前提にして、△AEGと△ABCに注目します。
共通角なので、∠EAG=∠BAC…①
AE:AB=3√7:12=√7:4…②
AG:AC=6:(24/7)√7=1:4/√7=√7:4…③
①、②、③より、2組の辺の比とその間の角が等しいので、△AEG∽△ABC。対応する角が等しいので、∠AEG=∠ABCが答えになります。
「気づくか、ヴォケ！ヽ(｀Д´#)ﾉ 」って感じた、そこの君！僕も同感です。気づくのにかなり時間がかかりました…(*_*;
いかがだったでしょうか？簡略な説明と銘打った割には、長く書いてしまった…
「数学Ⅱ・数学Ｂ」の解説は、次回に行いますね。
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